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2014-2015学年华师大版九年级数学上册讲义-相似三角形有关的综合问题2

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相似三角形有关的综合问题 2
主讲教师:黄炜 北京四中数学教师

金题精讲
题一:在*面直角坐标系 xOy 中, 抛物线 y ? mx2 ? 3x ? 5 ? m 与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 在点 B 的左侧),与 y 轴交于点 C(0,4),D 为 OC 的中点. (1)求 m 的值; (2)抛物线的对称轴与 x 轴交于点 E,在直线 AD 上是否存在点 F,使得以点 A、B、F 为顶点的三角 形与 ?ADE 相似?若存在,请求出点 F 的坐标,若不存在,请说明理由. 考点:二次函数、相似三角形

满分冲刺
题一:如图,*行四边形 ABCD 中,AB=4,BC=3,∠BAD=120°,E 为 BC 上一动点(不与 B 点重 合),作 EF⊥AB 于 F,FE,DC 的延长线交于点 G,设 BE=x,△DEF 的面积为 S. (1)求证:△BEF∽△CEG; (2)求用 x 表示 S 的函数表达式,并写出 x 的取值范围; (3)当 E 点运动到何处时,S 有最大值,最大值为多少.

考点:二次函数、相似三角形 题二:如图,二次函数图象的顶点坐标为 C(1,?2),直线 y ? kx ? m 的图象与该二次函数的图象交 于 A、B 两点,其中 A 点坐标为(3,0),B 点在 y 轴上.点 P 为线段 AB 上的一个动点(点 P 与点 A、 B 不重合),过点 P 且垂直于 x 轴的直线与这个二次函数的图象交于点 E. (1)求这个二次函数的解析式; (2)设点 P 的横坐标为 x ,求线段 PE 的长(用含 x 的代数式表示); (3)点 D 为直线 AB 与这个二次函数图象对称轴的交点,若以点 P、E、D 为顶点的三角形与△AOB 相似,请求出 P 点的坐标.

考点:相似三角形代几综合

相似三角形有关的综合问题 2
讲义参考答案
金题精讲
题一:(1)抛物线 y=mx2+3m+5+m 与 y 轴交于点 C(0,4),∴5+m=4.∴m= ?1. (2)抛物线的解析式为 y= ?x2+3x+4.可求抛物线与 x 轴的交点 A(?1,0),B(4,0).可求点 E 的坐标(
3 2

,0).

由图知, 点 F 在 x 轴下方的直线 AD 上时,?ABF 是钝角三角形, 不可能与 ?ADE 相似, 所以点 F 一定在 x 轴上方. 此 时 ?ABF 与 ?ADE 有一个公共角,两个三角形相似存在两种情况:①当
AB AF ? AE AD

时,由于 E 为 AB 的中点,此时 D

为 AF 的中点,可求点 F 坐标为(1,4).②当

AB AF

?

AD AE

时,

5 AF

?

5 5 2

,解得 AF ?

5 5 2



如图(2)过点 F 作 FH ? x 轴,垂足为 H.可求 F 的坐标为(

3 2

,5).

满分冲刺
3 2 11 3 题一:(1)略;(2) S ? ? 8 x ? 8 x (0 ? x ? 3); ( 3)当 x=3 时,S 最大值 ? 3 3 .
题二:(1)设二次函数的解析式为 y ? a( x ? 1) 2 ? 2 , ∵A(3,0)在抛物线上,∴0=a(3?1)2?2,∴ a= (2)抛物线与 y 轴交点 B 的坐标为(0, ? 设直线 AB 的解析式为 y=kx+m,
3 2 1 2 1 2

,∴y=

(x?1)2?2.



? 1 ?3k ? m ? 0 k ? ? ? 2 ? ∴? ,∴ , ? 3 3 m ? ? ?m ? ? ? ? 2 ? ? 2
∴ 直线AB的解析式为y ?
1 2 x? 3 2



∵P 为线段 AB 上的一个动点,

∴P 点坐标为 ( x, 1 x ? 3 ) ,(0<x<3) .

2

2

由题意可知 PE // y 轴,∴E 点坐标为 ( x, ∵0<x<3,∴PE= (

1 2 3 x ?x? ). 2 2

1 3 1 3 1 3 x ? ) ? ( x2 ? x ? ) ? ? x2 ? x . 2 2 2 2 2 2

(3)由题意可知 D 点横坐标为 x=1,又 D 点在直线

AB 上,∴ D 点坐标(1

,?1).

①当∠EDP=90°时,△AOB∽△EDP,? AB ? PE .

OB

DP

过点 D 作 DQ⊥PE 于 Q ,∴xQ= xP =x ,yQ = ?1

3 3 5, ∴△DQP∽△AOB∽△EDP ? DP ? AB ,又 OA ? 3, OB ? , AB ?
DQ OA

2

2

又 DQ ? x ? 1

∴ DP ?

5 ( x ? 1) 2

3 5
∴ 2

3 2

?

?

1 2 3 x ? x 2 2 ,解得 x ? ?1 ? 6 ( 负舍). 5 ( x ? 1) 2

∴ P( 6 ? 1, 6 ? 4 ) (如图中的 P1 点). 2 ②当∠DEP=90°时,△AOB∽△DEP,? OA ? DE .

OB

PE

由(2)得 PE ? ? 1 x 2 ? 3 x , DE ? x ? 1 .

2

2

3 1 3 ? x2 ? x 2 2 2 ,解得 x ? 1 ? 2 (负舍). ∴ ? 3 x ?1
∴P (1 ? 2, 2 ? 1) (如图中的 P2 点). 2 综上所述,P 点坐标为 (1 ? 2, 2 ? 1) 或 ( 6 ? 1, 6 ? 4 ) .

2

2




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